一、前言

昨天看到数学大佬 @Jack明天三连了吗（他之前发的网格作图堪称神作）发了一期讨论分段函数的视频，不禁想起了当年类似的情景，有些热血沸腾。出于对代数美学的向往，我曾决心“抛弃”几何与分类讨论，虽说是有些过激的行为，但也颇有乐趣。

之前发过一篇“抛弃”几何的文章，自诩为“严格证明”，却尽显思维之不严谨，但这是当年的些许回忆，纸稿找不到了，便没有从B站删去，让各位见笑了。

(相关资料图)

如今便来复现一下本人2021年4月的一些情景，并加入一些新的思考！

二、正文

构造

（当然，这是可以改写成含根式的形式的，见后文）

考虑函数平移，则 

（另有，考虑函数平移同理从略）

可以证得：

若，则 

作差过程消去常数项，则上式等价于

由此可以写出分段函数合表达式通式：

（后来看到Jack的视频，考虑即可进行改写。)

三、遗留问题与后记

分段区间连不上，端点处断开了

函数构造形式使然，没办法……

为了解决这个问题，还想过引入狄拉克函数

构造  解决端点问题。但这样好像循环论证了，而且有点小题大做，也就罢了。

Jack的思路也挺好的，大家也可以去看看。我只不过是用了我自己的方法罢了，但应该是跟Jack的等价的。

（2023年5月3日）